２進数・８進数・１０進数・１６進数などの基数変換と重み

基数とは、数値を扱う際に「基となる数字の個数（ひとつの桁を表すのに何個の数字が扱われるか）」のことを指します。

この記事を読むことで、

・進数の変換方法（重みを使った方法・割り算と掛け算での方法）

・桁が持つ重みについて

以上のことが分かります。

また、基数・進数・桁の重みについてより詳しく知りたい方は、

基数とは？IT系国家試験の基本知識、２進数について解説！

をご一読ください。基数についてより知ることができます！

基数変換

基数変換とは、２進数を１０進数に変換したり、１６進数を１０進数に変換したり、現状において必要な進数に変換する方法です。

基数変換をする理由

どうして置き換える必要が出てくるのでしょうか？

一般的に海外の方と会話をする際、その方が分かる言語（例えば、英語）で話さなければ、会話は成立しません。そのため、英語を習得したり、翻訳機を使ったりして、なんとか話を伝える必要があります。

コンピュータも同じで、コンピュータで扱う数値は、２進数で表される「０・１」のみです。

そのため、私たちは２進数で情報のやり取りをする必要があるのです。

しかし、私たちが一般的に使用する数値は１０進数です。

そのため、コンピュータとのやりとりでは、２進数を１０進数に、または１０進数を２進数に変換しないと、数値が分かりません。

そこで、基数変換が必要になるのです。

基数と桁の「重み」

基数変換の前に、重要な各基数の桁が持つ「重み」について解説します。

まず、２進数の桁上がりを見てみましょう。

１桁目で２個（０・１）の数字を全て使い切ると、１の次に当たる数字が２進数には存在しないため、桁上がりをし「１０」となります。

桁上がりをすると、また１桁目から数字が増えていきます。

また、２桁目でも１番大きな数字の１までを使い切ったので、桁上がりをし「１００」となります。

この桁上がりする際、ある規則的な値が出てくるのですが分かるでしょうか？

答えは、「倍々となって増えていく」です。

１桁目は２の０乗（２⁰）

２桁目は２の１乗（２¹）

３桁目は２の２乗（２²）

４桁目は２の３乗（２³）

５桁目は２の４乗（２⁴）

６桁目は２の５乗（２⁵）

というように、桁が上がるごとに

１　→　２　→　４　→　８　→　１６　→　３２

と倍々になっているのです。

この倍となっていく数字が、２進数が持つ各桁の「重み」といいます。

つまり、桁ごとに「２の（桁数‐１）乗」を行った数値で重みがわかるのです。

１０進数の各桁の重みも見てみましょう。

１　→　１０　→　１００　→　１０００　→　１００００　→　１０００００

桁が上がるごとに倍々になっていっているのが分かります。

また、桁ごとの重みは「１０の（桁－１）乗」を行った数値になっています。

※１以下の数値については、倍々で小さくなっていきます。

　２進数の場合、1/2→1/4→1/8…と倍々で小さくなっていきます。

n進数から１０進数への基数変換

重みについて理解できたところで、n進数から１０進数への基数変換をしてみましょう。

n進数のnには、変換したい元の基数が入ります。

nには、２進数や８進数の２や８が入るということです。

n進数を１０進数へ変換するには、

各桁の重みを掛け、結果を足すことで１０進数への変換ができます。

２進数から１０進数への基数変換

２進数「１０１１．１０１」を１０進数に変換してみます。

２進数「１０１１．１０１」は各桁の重みを掛けた結果

8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0 + 0.125

＝11.625

１０進数「１１．６２５」となり、

これで、２進数から１０進数への基数変換ができました。

８進数・１６進数なども、２進数と同じ方法で１０進数への基数変換が可能です。

＜８進数＞

８進数「１７２５.６３」を重みを使って１０進数へ変換すると

(512×1)＋(64×7)＋(8×2)＋(1×5）＋（0.125×6)＋(0.015625×3)

＝512   ＋  448  ＋  16  ＋　5　　＋　　0.75　 ＋　0.046875

＝981.796875

１０進数「981.796875」となります。

＜１６進数＞

１６進数「3D5.29」を重みを使って１０進数へ変換すると

(256×3)＋(16×13)＋(1×5) ＋ (0.0625×2)＋(0.00390625×9)

＝768　 ＋　208   ＋　5　　＋　　0.125　 ＋　0.03515625　

＝981.16015625

１０進数「981.16015625」となります。

n進数を１０進数へ基数変換する場合、

①各桁の重みをかける

②かけて出た結果を足す

以上の２工程を経て１０進数への変換をすることができます。

１０進数からn進数への基数変換

１０進数からn進数への基数変換には２つの方法があります。

・各桁の重みを使った変換方法

・割り算と掛け算を使った変換方法

各桁の重みを使った変換方法

基数の各桁が持つ「重み」を使って行う方法について解説します。

前の項目では、n進数から１０進数への変換を、各桁の重みを「掛け算」して行いました。

逆の１０進数からn進数への変換は、各桁の重みを順に「割り算」します。

先ほど２進数から１０進数への変換を行った際に出た１０進数「１１．６２５」を２進数に変換してみます。

整数部
① 11 ÷ 8 = 1 … 3
②  3 ÷ 4 = 0 … 3
③  3 ÷ 2 = 1 … 1
④  1 ÷ 1 = 1 … 0

小数部
⑤ 0.625 ÷ 0.5 = 1 … 0.125
⑥ 0.125 ÷ 0.25 = 0 … 0.125
⑦ 0.125 ÷ 0.125 = 1 … 0

２進数「１０１１．１０１」

整数部は整数部分各桁の重みを使って割り算を、

小数部は小数部分各桁の重みを使って割り算をそれぞれ順に計算していきます。

２進数部分には、商を入れます。

これで、１０進数から２進数への各桁の重みを使って変換が出来ました。

割り算と掛け算を使った変換方法

変換したい基数を使って、整数部は割り算・小数部は掛け算をして行う方法について解説します。

ここでも、先ほどと同じ数値の１０進数「１１．６２５」を２進数に変換してみます。

整数部
① 11 ÷ 2 = 5 … 1
②  5 ÷ 2 = 2 … 1
③  2 ÷ 2 = 1 … 0
④  1 ÷ 2 = 0 … 1

小数部
⑤ 0.625 × 2 = 1.25
⑥  0.25 × 2 = 0.5
⑦   0.5 × 2 = 1.0

２進数「１０１１．１０１」

整数部は余りを④→③→②→①と降順に

小数部は整数になった部分を⑤→⑥→⑦と昇順にそれぞれ記載します。

これで、１０進数から２進数へ割り算と掛け算を使って変換することが出来ました。

２進数と８進数・１６進数の基数変換

８進数と１６進数は、2進数との変換がしやすい進数です。

８進数は２³（２の３乗）

１６進数は２⁴（２の４乗）

となっています。

８進数は３桁で、１６進数は４桁でそれぞれを区切って変換をしていきます。

２進数と８進数の基数変換

２進数「１０１１．１０１」を８進数に変換してみましょう。

①３桁ごとに区切る（３桁に満たない部分には“０”を補う）

②区切った単位ごと、それぞれを８進数に変換する

③８進数に変換した数値を並べる

２進数、３桁までで表せる最大値は、

２進数「１１１」＝１０進数「７」

となります。

８進数は０～７の数値を扱うので、２進数を３桁に分けることで、８進数となるのです。

反対に、８進数を２進数に変換する場合は

各桁を２進数の３桁に分けることで変換ができます。

２進数と１６進数の基数変換

２進数「１０１１．１０１」を１６進数に変換してみましょう。

①４桁ごとに区切る（４桁に満たない部分には“０”を補う）

②区切った単位ごと、それぞれを１６進数に変換する

③１６進数に変換した数値を並べる

進数、４桁までで表せる最大値は、

２進数「１１１１」＝１０進数「１５」

となります。

１６進数は０～９と A ～ F の数値を扱うので、２進数を４桁に分けることで、１６進数となるのです。

反対に、１６進数を２進数に変換する場合は

各桁を２進数の４桁に分けることで変換ができます。

まとめ

基数変換について、分かったでしょうか？

変換方法にはいくつかあるので、自身のやりやすい方法を覚えておくと良いでしょう。