基数とは？IT系国家試験の基本知識、２進数について解説！

数学やIT関係の勉強をしていると、何度か出てくる「基数」という言葉があります。

IT関係のことを学んでいく上では、とても重要な基礎になります。

この記事を読むことで、

・基数とは何か

・２進数（進数）について

以上のことが分かります。

ITパスポート試験や基本情報技術者試験などのIT系国家試験を学ぶ際、基数や２進数は基礎知識として必要となります。

知らない方は、ぜひ一読してみてください。

基数とは？

「基数」とは、数値を扱う際に「基となる数字の個数」のことです。

詳しく見てみましょう。

私たちが数をかぞえる時、基になる数字はいくつあるでしょうか？

上記の１０個です。

この１０個の数字を使うことで、億や兆まで、逆はマイナスや小数点以下の数値まで、全てを表すことができます。

コンピュータ上（デジタル上）では、数を扱う際、基となる数字は、

上記の２個のみです。

コンピュータ上では、この２個の数字だけで、メガやギガなどの大きなものやマイクロやナノなどの小さな数値までのすべてを表すことができるのです。

この、基となる数字の個数（ひとつの桁を表すのに何個の数字が扱われるか）のことを“基数”と呼びます。

進数とは？

「基数」とは、数値を数えるうえで基となる数のことを指すことがわかりました。

基数と共に覚えておく言葉として「進数」があります。

基数が１０のものを「１０進数」

基数が２のものを「２進数」

と呼びます。

１０進数

１０進数で詳しく解説していきます。

１０進数とは、基となる数字が１０個、言い換えると

「１０個の数字が使える」と言うことです。

また、「１０になるごとに桁が上がる」と言うことです。

１桁目で１０個（０～９）の数字を全て使い切りました。

そうすると、９の次に当たる数字が１０進数には存在しないため、桁上がりをし「１０」となります。

桁上がりをすると、また１桁目から数字が増えていきます。

また、２桁目でも１番大きな数字の９までを使い切ったので、桁上がりをし「１００」となります。

このように、その桁で０～９までの１０個の数字を使い切ると、桁が上がるものを「１０進数」と呼びます。

２進数

それでは、２進数ではどうなるでしょうか？

２進数は、基となる数字が２個、言い換えると

「２個の数字が使える」「２になるごとに桁が上がる」ということです。

１桁目で２個（０・１）の数字を全て使い切りました。

そうすると、１の次に当たる数字が２進数には存在しないため、桁上がりをし「１０」となります。

桁上がりをすると、また１桁目から数字が増えていきます。

また、２桁目でも１番大きな数字の１までを使い切ったので、桁上がりをし「１００」となります。

このように、その桁で０と１の２個の数字を全て使い切ると、桁が上がるものを「２進数」と呼びます。

８進数・１６進数

８進数と１６進数も見てみましょう。

《８進数》

８進数は、０～７までの８個の数字をつかって数値を表します。

そのため、１桁目で８個の数字をすべて使い切り、７の次に当たる数字が８進数には存在しないため、桁上がりをし「１０」となります。

《１６進数》

１６進数は、０～９ と A～F までの１６個の数字をつかって数値を表します。

そのため、１桁目で１６個の数字をすべて使い切り、Fの次に当たる数字が１６進数には存在しないため、桁上がりをし「１０」となります。

進数のまとめ

ここまでの進数についてまとめると、

「ｎ進数」とは ｎ が基数であり、
 ｎ 個の数字を使い切ると桁上がりをするもの

ということになります。

基数の変換

２進数表記の数値を１０進数で表したい、ということがあった場合には、「基数変換」が必要になります。

２進数「1010」を１０進数にする場合、桁ごとに「２の（桁数‐１）乗」を行った数値の「重み」を使うことで、基数変換ができます。

２進数の各桁に重みを掛けます。その重みのついた値全てを足し合わせると、１０進数への変換ができます。

２進数「1010」は、

４桁目が１、３桁目が０、２桁目が１、１桁目が０ になっています。

以上を元に計算をしてみます。

　１×２³＋１×２¹

＝１×（２×２×２）＋１×２

＝１×８＋１×２

＝８＋２

＝１０

２進数「1010」が１０進数「１０」へ変換が出来ました。

このように各桁の重みを使うことで、変換ができます。

他には、割り算と掛け算を使って基数変換する方法もあります。

より詳しい基数変換について知りたい方は、

２進数・８進数・１０進数・１６進数などの基数変換と重み

で詳しく解説しているので、ぜひ一読してみてください。

基数の足し算・引き算（加算・減算）

１０進数で足し算・引き算ができるように、他の基数での足し算・引き算も可能です。

２進数の足し算（加算）

２進数の足し算では、

・０＋０＝０

・１＋０＝１（０＋１＝１）

・１＋１＝１０

以上の３種類で計算ができます。

２進数では「０と１」しか表現できない基数のため、１＋１は桁上がりがおきるのです。

２進数の引き算（減算）

２進数の引き算では、

・０－０＝０

・１－１＝０

・１－０＝１

・０－１＝１

以上の４種類で計算ができます。

０－１＝１の計算に関しては、０から１が引けないため、上の桁から“１”を借りてきます。

１０進数でも、引き算元の数値が足りない場合は、上の桁から数字を借りてきますよね、それと同じです。

また、引き算に関しては、「補数」の考え方が必要になる場合もあります。

より詳しい基数の足し算・引き算・補数について知りたい方は、

２進数の足し算・引き算（加減算）の方法と正の数・負の数、補数について解説！

で詳しく解説しているので、ぜひ一読してみてください。

基数の掛け算・割り算（乗算・除算）

１０進数で掛け算・割り算ができるように、他の基数での掛け算・割り算も可能です。

２進数の掛け算（乗算）

元の数値を左にシフトすることで、掛け算（２のn乗）ができます。

空いた桁には“０”を入れます。

２進数「１０１０」（１０進数「１０」）を左に１シフトすることで、

２進数「１０１００」（１０進数「２０」）になり２倍にできました。

２進数の割り算（除算）

元の数値を右にシフトすることで、割り算（ 1/2のn乗）ができます。

“０”があふれた場合は、消します。

２進数「１０１０」（１０進数「１０」）を右に１シフトすることで、

２進数「１０１」（１０進数「５」）になり１／２倍（半分）にできました。

上記で説明した方法は、「シフト演算」という考えを元にしています。

また、シフト演算には２つの種類があります。

「論理シフト」と「算術シフト」です。

上記で説明したものは、「論理シフト」に該当します。

「算術シフト」は、論理シフトに符号（＋，－）が付いたものになります。

より詳しい基数の掛け算・割り算・シフト演算について知りたい方は、

２進数の掛け算・割り算（乗除算）の方法とシフト演算（論理シフトと算術シフト）について

で詳しく解説しているので、ぜひ一読してみてください。

基数の小数点

２進数の数値を表す方法で、「固定小数点数」と「浮動小数点数」というものがあります。

２進数の１桁は「１ビット」、８桁で「８ビット（１バイト）」です。

この８ビットの中で、小数点を使って数値を表そうとした場合において

・ビット列のどの位置に小数点があるか、決まっている数値を表現するものを「固定小数点数」

・ビット列の小数点を移動させ、移動させた分を指数表記で数値を扱うものを「浮動小数点数」

固定小数点数は、事前に小数点の位置が決められている場合にのみ用いられます。

例えば、頭から５ビット分を整数、と決めた（決まっていた）ら、「１０００１．０１１」となります。

（符号（＋、－）ありの場合は、一番左のビット列が符号用になります）

浮動小数点は、小数点の位置を移動させ、移動した分を指数に表します。

小数点を移動させたことで、表現できる数値が３桁分増えました。

固定小数点では、表せる整数に限りがあります。

しかし、浮動小数点を扱うことで、表せる範囲が広がるのです。

より詳しい基数の小数点（固定小数点数・浮動小数点数）や正規化について知りたい方は、

２進数の小数点（固定小数点数・浮動小数点数）の表し方と正規化について

で詳しく解説しているので、ぜひ一読してみてください。

基数の浮動小数点と誤差

浮動小数点では、小数点を移動させることで、表せる数値が増えます。

そのため、小数点以下の数値が多い場合において、大変有効な表現方法です。

しかし、無限小数（割り切れない数値、例えば１０÷３など）の場合においては、決められたビット数内で納めなければならないため、本来の数値とは若干違う「誤差」が出ることがあります。

四捨五入や切り捨てなどを行い、生じる誤差を「丸め誤算」

正規化で小さな値が切られてしまい、生じる誤差を「情報落ち」

など、浮動小数点を使ったことで生じてしまう誤差にも種類があります。

より詳しい基数の浮動小数点と誤差について知りたい方は、

浮動小数点数の誤差について（無限小数・桁あふれ誤差・情報落ち・打切り誤差・桁落ち・丸め誤差）

で詳しく解説しているので、ぜひ一読してみてください。

まとめ

基数や進数、重みについて分かったでしょうか？

２進数は、IT系の仕事や資格では必須の基本的なものになります。

ぜひ、他のページも読んでマスターしてみましょう！