２進数の小数点（固定小数点数・浮動小数点数）の表し方と正規化について

１０進数で小数点の表現ができるように、２進数でも小数点を表すことができます。

この記事を読むことで、

・２進数の小数点の表し方

・固定小数点数とは

・浮動小数点数とは

・浮動小数点数の正規化について

以上のことが分かります。

また、基数・進数・桁の重みについてより詳しく知りたい方は、

基数とは？IT系国家試験の基本知識、２進数について解説

をご一読ください。基数についてより知ることができます！

２進数の小数点の表し方

２進数の数値を表す方法で、「固定小数点数」と「浮動小数点数」というものがあります。

２進数の１桁は「１ビット」、８桁で「８ビット（１バイト）」です。

この８ビットの中で、小数点を使って数値を表そうとした場合において

・ビット列のどの位置に小数点があるか、決まっている数値を表現するものを「固定小数点数」

・ビット列の小数点を移動させ、移動させた分を指数表記で数値を扱うものを「浮動小数点数」

固定小数点数

固定小数点数は、事前に小数点の位置が決められている場合にのみ用いられます。

例えば、頭から５ビット分を整数、と決めた（決まっていた）ら、「１０００１．０１１」となります。

（符号（＋、－）ありの場合は、一番左のビット列が符号用になります）

固定小数点数では、頭から何ビット分を整数にするかが決まっているため、表現できる数値の有効範囲数も始めに決まります。

メリット・デメリット

固定小数点数のメリットとしては、あらかじめ小数点の位置が決まっているため、整数部小数部などの数値やデータの解釈がしやすい点です。

デメリットとしては上記でも説明した通り、頭から何ビット分を整数にするかがきまっているため、表現できる数値に限りが出てきてしまいます。

そのため、整数を表す場合には最大の桁数を利用して表現ができます。

コンピュータでは、一番右側に小数点を置くことで、整数を表すことができます。

浮動小数点数

浮動小数点は、小数点の位置を移動させ、移動した分を指数に表します。

小数点を移動させたことで、表現できる数値が３桁分増えました。

小数点を移動させた分は、基数と指数を掛け算することで表現でき、この表記法を「指数表記」と呼びます。

ここでは、２進数の指数表記を載せてあります。

１０進数にしたい場合は、基数のところを「１０」にします。

このように、浮動小数点数を使用することで、表現できる数値の有効範囲数を多くとることができます。

メリット・デメリット

浮動小数点数のメリットは、小数点の位置を移動することができ表せる範囲が広がる、ということです。

デメリットは、誤差や無限小数が発生してしまい、正確な数値を表現することができなくなってしまうこともある、ということです。

浮動小数点数では、小数点の位置を移動させられはしますが、決められた桁内での数値表現のため、その桁からあぶれた数値は切り捨てや四捨五入などされてしまうため、正確な数値でなくなる場合も出てきてしまうのです。

浮動小数点数の誤差や桁落ち、無限小数については、

浮動小数点数の誤差

で、詳しく解説してるので、併せて読んでみてください！

正規化

正規化とは、浮動小数点数において、数値の有効範囲数を広げるために、小数点の位置を移動させることをです。

上記までの説明でも、実は正規化を行っていましたが、ここでは何を正規化というのかを詳しく解説していきます。

正規化には、指数表記を使います。

１０進数「０．００６５」を例に上げてみましょう。

小数点を右に２つずらしたことで、０．００６５を表現するためには小数点以下の桁数が４桁必要だったところ、小数点を右に２つずらしたことで、仮数部が０．６５となり小数点以下の桁数を２桁で表現することができました。

３２ビット形式

２進数の正規化を３２ビット形式で見てみましょう。

３２ビット形式は、よく使われる浮動小数点数の形式になります。

１０進数「０．３７５」を３２ビット形式を用いて正規化してみます。

３２ビット形式で浮動小数点数を表現することができました。

IEEE７５４の形式とバイアス値

上記の３２ビット形式での浮動小数点数の表現方法の他に、IEEE７５４の浮動小数点数形式の表現があります。

IEEE７５４とは、米国電子電気技術者協会により規格化された形式を指します。

３２ビット、６４ビット、１２８ビットなどの形式があります。

先ほどの３２ビット形式の浮動小数点数と何が違うのか見てみましょう。

IEEE７５４では、仮数部を「１．xxxx」のように表現します。

例えば、０．０１１を

仮数部０．Mで正規化すると→０．１１（仮数部が２ビット＝小数点以下が２桁必要）

仮数部１．Mで正規化すると→１．１　（仮数部が１ビット＝小数点以下が１桁必要）

となります。

IEEE７５４で表現すると、１ビット多く表現ができるということです。

また、指数部は８ビットで表現します。

２進数で８ビットを表現すると、

となります。

しかし、実際には負の数も扱うため、

が必要です。

指数部分でマイナスを表現することもできますが、分かりやすくするために、実際の指数にそれぞれ、１２７のプラスすると、整数のみで数値を表現したのです。

「１２７をプラスする」＝「バイアス１２７」として補正値を加えて値を表現する、ということです。

それでは、このIEEE７５４の形式で浮動小数点数を表現してみましょう。

１０進数「０．３７５」を正規化してみます。

IEEE７５４の３２ビット形式で表現することができました。

※補足ですが、指数部が全て「０」で埋められた場合、「0.0」となり、指数部が全て「１」で埋められた場合は、「無限大」という扱いになります。

まとめ

固定小数点数・浮動小数点数と正規化について分かったでしょうか？

また、浮動小数点数では、誤差や桁落ちが発生することもありえます。

浮動小数点数の誤差や桁落ち、無限小数については、

浮動小数点数の誤差

で、詳しく解説してるので、併せて読んでみてください！